Oefenopgaves

Lees goed het lijstje door ter voorbereiding voor de tussentoets. Niet voor alle elementen op het lijstje zijn oefenopgaves!

Let op: Voor alle opgaven in dit vak geldt dat je bij het noteren van resultaten je moet houden aan de regels. Kijk hiervoor goed naar het stukje ‘significantie en notatie’ in het hoofdstuk Notatie.

1 We hebben de volgende meetpunten voor {x,y}:
{2.0,-1.1}, {4.0,-7.2}, {6.0,-13.3}
De onzekerheden op de gemeten waardes $y$ zijn $\sigma_y = 1.0$.
De meetwaardes kunnen worden omschreven met de volgende functie:

$f(x;a,b) = a+bx$ waarvan $a=2.0$.

Vind de waarde voor $b$ die de dataset optimaal beschrijft.

2 We hebben een dataset met de volgende meetpunten voor {x,y}:
{1.0,3.2}, {2.0,13.3}, {3.0,26.5} met meetonzekerheden $\sigma_y = 0.5$
De dataset fitten we met de functie $y = a\cdot x^2$. Bereken de optimale waarde voor $a$.

3 Stel je hebt een dataset met 32 meetwaardes die je fit met de functie $f(x;a,b,c,d)$ waarbij je alle vier de parameters optimaliseert. Hoeveel vrijheidsgraden heeft deze fit?

4 Stel je hebt een dataset met 45 meetwaardes gefit met een functie $f(x;a,b)$. De $\chi^2$ van de fit is bepaald op 98. Is dit een goede fit?

5 Stel je hebt een dataset met 14 punten. Je fit deze met een functie $f=a\cdot x^2$. De $\chi^2$ van de fit is 10. Is dit een goede fit?

6 Stel je hebt een dataset met 14 punten. Je fit deze met een functie $f1 = a+ b\cdot x$ en met een functie $f2 = a+b\cdot x+ c\cdot x^2$. Voor $f1$ vind je een $\chi^2_{f1} = 15.2$, voor $f2$ vind je een $\chi^2_{f2} = 16.8$. Vergelijk de twee fits, welke is het beste?

7. Stel de nulhypothese op bij de gegeven alternatieve hypotheses:

a. $H_{\alpha:}$De gemiddelde dikte van een vel papier is groter dan $0.1$ mm.

b. $H_{\alpha:}$ Het gemiddelde aantal kinderen per huishouden in Nederland is gelijk aan $1.2$.

c. $H_{\alpha:}$ Het gewicht van een pingpongbal is kleiner of gelijk aan $2.77$ gram.

8. Bij een zekere stochast vinden we een p-waarde van 3% en we hebben een significantielevel gekozen van 5%.

a. Is de conclusie ‘De nulhypothese is niet correct’ een juiste conclusie? is de conclusie ‘De alternatieve hypothese is correct’ een juiste conclusie? Leg uit waarom wel/niet. Zo niet: hoe zou je deze hypothese anders kunnen formuleren?

b. Hoe veranderd je conclusie als je een significantielevel van 10% had gekozen of van 1%?

9. De productiechef bij een kleurpotlodenfabrikant heeft het vermoeden dat de zaagmachines niet meer zo goed werken. Als de gemiddelde lengte die wordt afgeleverd door de zaagmachines groter of gelijk is aan 177 mm dan zijn de machines aan vervanging toe.

Bij de fabrikant zijn de afgelopen maand 30000 kleurpotloden geproduceert met een gemiddelde lengte van 176 mm en een standaardafwijking van 1 mm.

a. Stel de alternatieve hypothese op behorende bij dit probleem

b. Stel nu de nulhypothese op.

c. Bereken de z-score behorende bij 177 mm.

d. Bereken de p-waarde en noteer je antwoord als een percentage met het juiste aantal significante cijfers. De tabel met z-scores kun je hier vinden.

e. Als we een significantielevel van $\alpha=5$ aannemen. Kun je op grond hiervan de nulhypothese dan verwerpen of niet?

10. Een vliegtuig heeft op een bepaalde vlucht een gemiddeld brandstofverbruikt van 640 liter. Het brandstofverbruik is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 15 liter. De eerste brandstoftank van het vliegtuig bevat 660 liter. Er is ook een reservetank. Bereken de kans dat het vliegtuig tijdens de vlucht brandstof uit de reservetank nodig heeft.