Wetenschappelijk notatie - correct noteren van resultaten

1. Significantie en precisie
2. Wetenschappelijke notatie
3. Hoeveel significante cijfers noteren?
4. Significantie en berekeningen

Voordat we verder gaan is het belangrijk om even in te gaan in het onderwerp significantie en de wetenschappelijke notatie. Dit gaat over hoe we een resultaat noteren. Het is goed om hier even bij stil te staan.

Voorbeeld Stel dat we een lang meetlint hebben met een millimeter verdeling. We meten de lengte van een lange plank op. We noteren 253.3 cm. We hebben de plank goed kunnen opmeten en er staat een millimeter verdeling op het meetlint. We hebben de meting tot op de millimeter nauwkeurig gedaan. Stel nu dat we met hetzelfde meetlint de hoogte van een struik opmeten. Is het dan oké voor deze gemeten hoogte ook de millimeters te noteren? Het opmeten zal waarschijnlijk wel lastig worden. Waar begint bijvoorbeeld de stam van het struikje? De aarde zal wel niet helemaal glad zijn. En lukt het wel om loodrecht op de aarde te meten?

De hoeveelheid getallen die we noteren zegt vaak iets over hoe nauwkeurig we denken het resultaat te weten. Meer hierover komt later terug in het stukje over meetonzekerheid. Hoe meer getallen we gebruiken om een resultaat op te schrijven, hoe zekerder we zijn van de meting.

Voorbeeld Stel we willen de gemiddelde lengte van drie stokken uitrekenen. De stokken zijn 45, 50 en 54 cm lang. We rekenen het gemiddelde uit met onze rekenmachine en we kopiëren het resultaat: 49.66666666 cm. Het lijkt nu of we het resultaat super-nauwkeurig weten terwijl we voor de stoklengtes alleen de centimeters hebben genoteerd. Dat klopt natuurlijk niet!

Voor het noteren van wetenschappelijke resultaten maken we in dit vak nu afspraken die jullie ook zullen toepassen in de overige bachelorvakken. Het is goed om te weten dat er soms wat kleine verschillen kunnen zijn in de afspraken omtrent de notatie. Als je later in je bachelor een project gaat doen kan het zijn dat de consensus over het presenteren van resultaten net iets anders ligt. Voor nu spreken we de regels af zoals die hieronder volgen.

We beginnen met het uitleggen van wat begrippen die we nodig hebben om de afspraken uit te kunnen leggen.

Significantie en precisie

Meetwaardes moeten met de juiste significantie worden genoteerd. De significantie is de nauwkeurigheid waarmee een getal/waarde wordt weergegeven. Vaak wordt gedacht dat het aantal decimale cijfers de nauwkeurigheid aangeeft, maar dit is technisch gezien de precisie waarmee de (meet)waarde wordt aangegeven. De nauwkeurigheid (significantie) van een getal zegt welke cijfers in het getal er iets toe doen. Cijfers zonder betekenis tellen we niet mee bij de significantie.

Om de significantie en de precisie te bepalen is het belangrijk om op de nullen te letten en de positie van de punt.

Voor de significantie geldt:

• Nullen aan de linkerkant doen niet mee. Het getal $0.0056$ heeft bijvoorbeeld twee significante cijfers.
• Nullen aan de linkerkant voorafgegaan door een getal doen wel mee met de significantie. Het getal $100.004$ heeft zes significante cijfers.
• Nullen aan de rechterkant doen wel mee met de significantie. Zo heeft $10.34000$ zeven significante cijfers.
• Een uitzondering op de tweede regel zijn getallen zoals $300$, $4000$, $570$ etc. Deze getallen zijn weergeven zonder decimalen waardoor het onduidelijk is of daadwerkelijk de waarde van $300$ respectievelijk $4000$ en $570$ is gemeten, of dat dit met een hogere of juist lagere precisie is gebeurd. De afspraak is dat als een getal op deze manier wordt weergegeven met nullen rechts, deze nullen niet meedoen met de nauwkeurigheid. De getallen $300$ en $4000$ hebben bijvoorbeeld allebei een significantie van 1. Het getal $570$ heeft twee significante cijfers. Om deze getallen met een ander aantal significante cijfers weer te geven wordt vaak de wetenschappelijke notatie gebruikt. Hier komen we later op terug.

De precisie van een getal wordt gegeven door het aantal cijfers achter de punt.

Een aantal voorbeelden

• Het getal $7.134$ heeft in totaal 4 significante cijfers, de precisie is 3.
• Het getal $0.576$ heeft 3 significante cijfers, de precisie is ook 3.
• $0.001$ heeft 1 significant cijfer, de precisie is 3.
• $1.001$ heeft 4 significante cijfers, de precisie is 3.
• $2.4500$ heeft 5 significante cijfers, de precisie is 4.

In het voorbeeld hierboven zie je dat de getallen (bijna) allemaal dezelfde precisie hebben, maar wel een variatie aan significante cijfers.

Wetenschappelijke notatie

Een veel gebruikte manier om getallen en meetresultaten weer te geven is met behulp van de wetenschappelijke notatie. Bij de wetenschappelijke notatie wordt elk getal in de vorm $A \times 10^n$ opgeschreven. Een voordeel van deze notatie is dat je hiermee ook hele kleine getallen en hele grote getallen op een makkelijke manier op kunt schrijven. We geven een voorbeeld:

Voorbeeld klein getal We willen het getal $0.000000000004563$ opschrijven met twee significante cijfers. Nu kunnen we natuurlijk $0.0000000000046$ opschrijven maar als we dat vaak moeten doen kost dat veel ruimte (en werk). In de wetenschappelijke notatie ziet dit getal met twee significante cijfers er als volgt uit:

$$0.000000000004563 = 4.6\cdot 10^{-12}$$

In het voorbeeld hierboven mag je natuurlijk zowel $4.6\cdot 10^{-12}$ als $0.000000000004563$ schrijven. Dat maakt niet uit. Bij grote ronde getallen is het vaak niet duidelijk hoe groot de significantie is. Met de wetenschappelijk notatie kunnen we dit duidelijk maken.

Voorbeeld groot getal Stel dat je het aantal knikkers in een pot hebt geschat op 2500. De onzekerheid is alleen in het laatste getal, maar dat kan je op deze manier niet zien. Je kan dit getal dan beter met de wetenschappelijk notatie schrijven. Bijvoorbeeld: $2.50 \times 10^{3}$ of $25.0 \times 10^{2}$
Op zich mag je ook schrijven $250 \times 10^{1}$ maar in de praktijk doet niemand dit ($10^{1}$ gebruiken) en bovendien blijft bij dit voorbeeld dan nog steeds onduidelijk wat de significantie is.

In het algemeen geldt voor de wetenschappelijke notatie het volgende:

• Je schuift de decimale punt op zodat er een getal staat dat in absolute waarde groter is dan $1$ en kleiner dan $10$. Dit is het getal $A$.
• Heb je de decimale punt hierbij $n$ plaatsen naar links verschoven dan vermenigvuldig je het getal $A$ met $10^n$. Heb je de decimale punt $n$ plaatsen naar rechts verschoven dan vermenigvuldig je $A$ met een factor $10^{-n}$.
• Daarna rond je af op het gewenste aantal significante cijfers.

Hieronder een aantal voorbeelden:

Let op! Bij natuurkundige resultaten is het vaak netter om het getal aan te passen aan een eenheid. Stel dat je een lengte meet, dan kan het netjes zijn om in plaats van $9.2 \times 10^2$ meter, $0.92$ km te schrijven. De significantie blijft in dit geval hetzelfde. Gebruik de instructies hierboven als richtlijnen en niet als regels. Soms is het beter om ervan af te wijken, maar denk er wel over na!

Hoeveel significante cijfers noteren?

Het is dus belangrijk om niet te veel en niet te weinig significante getallen gebruiken als je een resultaat noteert.

Voor het noteren van een meetresultaat hanteren we de volgende regel:

• Als er geen meetonzekerheid op het resultaat bekend is dan noteren we het meetresultaat met 2 significante cijfers.
• Als er wel een meetonzekerheid op het resultaat bekend is, dan noteren we de onzekerheid met 2 significante cijfers en noteren we het meetresultaat met dezelfde precisie.

Voorbeeld

Resultaat	Onzekerheid	Notatie
2.515	0.2142	2.52 $\pm$ 0.21
2.515	onbekend	2.5
2515	241	(2.52 $\pm$ 0.24) $\cdot$ 10$^{3}$
2515	onbekend	2.5 $\cdot$ 10$^{3}$
0.0471	0.12	0.05 $\pm$ 0.12
0.00148	10.38	0 $\pm$ 10
0.00148	onbekend	0.0015 of 1.5 $\cdot$ 10$^{-3}$
24018.2184	1.2125	24018.2 $\pm$ 1.2

NB. Als we teruggaan naar het voorbeeld met opmeten van de plank met het meetlint waarbij we hebben gemeten dat de plank 253.3 cm lang is, hebben we 4 significante cijfers genoteerd. Het resultaat is genoteerd zonder meetfout. Toch is dit de juiste notatie geweest. De ingeschatte fout is immers in de orde van een millimeter. In de tabel hierboven wordt steeds aangegeven dat de onzekerheid onbekend is, in zeker zin is die bij de meting van de lengte van de plank wel bekend. Meer hierover volgt in de sectie over meetonzekerheid.

Significantie en berekeningen

Voor het kiezen van het juiste aantal significante cijfers zijn er een aantal regels.

• Bij het vermenigvuldigen of delen van getallen krijgt het resultaat de significantie van het oorspronkelijke getal dat de laagste significantie had.

Voorbeeld Vermenigvuldigen we bijvoorbeeld $20.5$ (drie significante cijfers) met $3.5$ (twee significante cijfers) dan is het resultaat gelijk aan $20.5 \times 3.5 = 72$ (twee significante cijfers).

• Bij het optellen of aftrekken van getallen heeft het resultaat niet meer cijfers achter de decimale punt dan het gegeven met het minste aantal cijfers achter de decimale punt.

Voorbeeld Tellen we bijvoorbeeld $1.23$ op bij $0.1$ dan is het resultaat $1.23 + 0.1 = 1.3 .$

• Bij het vermenigvuldigen of delen van constante waardes (zoals $\pi, e, 100\%$ of $1$) dan verandert de significantie niet. En bij optellen of aftrekken bij constante waardes verandert het aantal decimalen niet.

Voorbeeld Ongeveer $5.3\%$ van de mannen in Nederland is kleurenblind. Dat betekent dat het percentage van de mannen die niet kleurenblind is gelijk is aan:
$100\% - 5.3\% = 94.7\%$. (Want, het is een aftreksom en we behouden dus het aantal decimalen.)

Voorbeeld We meten de straal van een cirkel $r = 3.15$ m en berekenen de omtrek.
omtrek = $2 \cdot \pi r = 2 \cdot \pi \cdot 3.15$ m $= 19.8$ m
(Want, $r$ heeft 3 significante getallen, dan moet de omtrek dat ook hebben.)